圓周率 p 的歷史
摘要
本專題研究將會就圓周率 p 的歷史作一概括的討論與記述：把圓周率 p 的研究歷史分為四個時期，依著時間的脈絡，鋪陳當中重要的歷史進程，揭開圓周率 p 的神秘面紗，及帶出人們對數學堅毅和智慧的追尋。
當你問「圓周率 p」是甚麼呢？我想小學生也能答你：「圓周等於直徑乘以 p」、「p 約等於七分之廿二或 3.14 」。看似好簡單的一個常數「p」，但它卻成為好多數學家研究的對象之一，甚至乎是他們窮一生之力所探求、所追尋的目標。它到底有甚麼懾人之處？
「圓周率」就是指圓周長和直徑的比率，而希臘字母「p」則是用以表達它的符號。研究圓周率 p 的歷史有四千年之久，此專題研究旨在概述有關的發展進程，希望大家在簡遊圓周率 p 的歷史後，能欣賞和讚嘆古人的數學智慧和毅力，及發現到圓周率 p 的奇妙之處。
本專題研究將會依時間的先後次序來討論圓周率 p 的歷史發展，並會以「起」、「承」、「轉」、「接」來分述圓周率 p 歷史的四個階段。
「起」是圓周率的起源，究竟誰先發現它？
何時、何人、何地？
早在公元前二千多年，古代的巴比倫、埃及、中國和以色列人已先後發現了一個事實：不管圓的大小為何，它的圓周長除以它的直徑長會是一個不變的數值 (常數) 。讓我們看看古巴比倫人和埃及人的發現：
古巴比倫
巴比倫人從計算周界發現 ：一塊出土於 1936 年的黏土塊上記載，在古巴比倫時期 (約公元前 1900-1600 年) ，巴比倫人相信六邊形的周界為0;57,36 (以底數 60 計，亦即 = 96/100 = 24/25) 乘以它的外接圓的周界：
六邊形周界 = 24/25 ´ 其外接圓周界 = 24/25 ´ p ´ 直徑
由此，得出相信是最古老的圓周率的近似值：
p 〔巴比倫〕= 25/8 = 3.125
埃及
埃及人則從面積計算得 (約公元前 2000 年) ：在賴因德古本 (Rhind Papyrus)，記載了一條有關圓周率的問題：「一塊圓形土地的的直徑長 9，它的面積為何……取圓直徑的九分八，做為正方形的邊形，就可得到和圓等面積的正方形」。亦即：
A = (8d/9)2
由此，得出圓周率的近似值：
p 〔埃及〕 = (16/9)2 = 3.16049…
再多一點點記載
中國 (約公元前十二世紀)：中國最古老的數學書《周髀算經》記載了「周三徑一」。這顯示中國人認為 p = 3。
聖經 (約公元前 500 年)：在《列王紀上篇》第七章二十三節，也記載了有關圓周率的數值：「他又鑄一個銅海、樣式是圓的、高五肘、徑十肘、圍三十肘」 (這是描述所羅門王神殿內祭壇的規格)，亦即當時的人也認為 p = 3。
在這段期間，人們都是為生活而作計算，鮮有為圓周率而找圓周率。他們的發現多源自經驗 (實際量度) 所得，對圓周率的興趣只在於它在建築及工程上的應用，最多也只是想找出圓周率的值是多少。
直至公元前約四世紀，人類才轉往追問如何找出圓周率的值，開始為圓周率而找圓周率：
一個對找出圓周率之值的重要發現：「窮舉法」
古希臘
安提豐（Antiphon，約公元前 430 年）和布賴森（Bryson，公元前 408 – 355 年）想出一個方法計算平面圖形面積的方法－「窮舉法」（Method of Exhaustion）。他們也嘗試以「窮舉法」來計算圓的面積：
「畫一個正六邊形，將它的邊增加兩倍，再不繼倍增，這個正多邊形最後就會”變成”圓形。」
此外，布賴森更開創了一個新想法以計算圓的面積：計算圓的外切多邊形和內接多邊形的面積，圓的面積就介乎他們之間。這可能是人類首次以上下限迫近一個值。
可惜的是，礙於不懂得計算多位數，他們未能將「窮舉法」應用到找出圚周率的值。不過，他們用「窮舉法」把多邊形迫近圓的想法，則啟發了其他的數學家，令他們找到一個計算圓周率的值的方向。
「承」是承繼安提豐和布賴森的「窮舉法」而發展的一個時期：以「多邊形」找尋圓周率的值。
古希臘：
一位影響深遠的西方數學家：阿基米德
古希臘西那庫斯的阿基米德（Archimedes of Syracuse，公元前 287 – 212 年），是第一個有系統地找出圓周率的近似值和圓周率的上下限的數學家。他採用了安提豐和布賴森的「窮舉法」，但他的研究重點則在多邊形的周界。阿基米德在《圓的度量》（The Measurement of the Circle）中，提出三個有關圓的定理，其中第三個是這樣的：
「任何一個圓的圓周和其直徑的比小於，但大於」
即：
3.14084… < p < 3.14285…
他是以計算圓的內接和外切正多邊形的周界來確定圓周的上下限：先作一個圓的外切正六邊形和對應的內接正六邊形（如圖 1 示 ），取他們的周界作該圓的上下限；再把那外切正六邊形和對應的內接正六邊形分為 正十二邊形，如此類推，以倍數增加多邊形的邊數，運用比例關係和畢氏定理，計算到該圓的外切正九十六邊形和對應的內接正九十六邊形的周界（如圖 2a 和 2b 示） 。最後，這兩個 正九十六邊形的周界與圓直徑的比率就是圓周率的上下限。
|
圖 1：圓的外切正六邊形和對應的內接正六邊形 |
|
圖 2a：外切多邊形 |
圖 2b：內接多邊形 |
|
（阿基米德用以由 n 邊形作 2n 邊形的圖 |
阿基米德開創了圓周率計算的幾何方法－以「多邊形」的窮舉迫近計算圓周率的值，得到精確至小數點後兩位的圓周率數值（約公元前 250 年）：
p = 3.14…
中國：
古代中國也有出色的數學研究。在西漢，天文學和曆法專家劉歆（公元前 50 – 公元 20 年) 因被差使去為國家發展一套標準的量度體系，他從製造一個青銅的圓柱器皿，算得 p = 3.15；而另一位天文學家東漢的張衡 （78 – 139 年），《後書》記載了他從觀看天星球體而得出圓周率的值約為（= 3.1622…）（以單位圓及其外切正方形的面積比為 5 : 8 來計算 ）。後來王蕃（217 – 257 年）發現更準確的圓周率數值： p = 3.155…。
顯赫的一頁：劉徽
到了魏晉（約 263 年） ，數學家劉徽是中國數學史上第一個為圓周率定一個有系統及紮實的計算方法，他發展了一個新的圓周率計算方法－「割圓術」：
他先作一個半徑為 10 個單位的圓，再由它的內接正六邊形出發，運用畢氏定理，求得六邊形的面積，這為圓的下限；他再延伸得長方形（如圖 3 示），求得圓面積的上限。劉徽以此作為基礎每次倍增正多邊形的邊數，計算出正十二邊形、正二十四邊形……直至正一百九十二邊形的面積，求得：
|
圖 3： |
即：
3.141024 < p < 3.142704
他在《九章算術注》（載於方田注）中寫道：
「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣」
可見他也有如安提豐和布賴森的「窮舉法」的想法。而他以割圓術計算 p 其實也與阿基米德的相似：他們都運用了「窮舉法」的意念（每一步倍增多邊的邊數），兩位數學家都分別是古代東西方唯一計算到 p 上下限的數學家；不同的是，劉徽只用內接多邊形和相關的面積計算 ，而阿基米德則用外切多邊形和對應的內接多邊形的周界計算 。不過，礙於科技資訊不發達，相信劉徽是獨立開創以多邊形面積迫近圓面積的窮舉法－「割圓術」來找出圓周率的值的。最後，劉徽更求得正 3072 邊形的面積，從而得出：
p = 3927/1250 = 3.1416
即 p 的值準確至小數後三個位，後人稱為「徽率」。
p 在中國頂尖的一頁：祖沖之
繼劉徽後約二百年，南北朝的祖沖之（429 – 500 年）在數學上也有傑出的成就。在《隋書．律曆志》中記載：
「宋末，南徐從事史祖沖之更開密法，以圓徑一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間」
（這顯示當時的中國人已有位值的概念）。祖沖之可能運用了劉徽的「割圓術」及他無比的耐性與堅持（當時並沒有算盤等計算工具，只能靠小竹子幫助計算，但他實質的計算方法則無從確定），算到內接 24576 邊形，求得：
3.1415926 < p < 3.1415927
圓周率的值準確至小數後 7 個位，後稱 3.1415926 為「祖率」，這個準確至小數後 7 個位的圓周率值的紀錄在約一千年後才被人打破。
另外，祖沖之更取 p = 22/7（= 3.14…）作為「約率」；p = 355/113（= 3.1415929） 作為「密率」，以表示圓周率的近似值。
其實，第一個發現 22/7 為 p 的近似值的是阿基米德；至於 355/113 ，則要在約一千年後，才由德國數學家鄂圖（Valentin Otho）在公元 1573 年求出。這些都標誌著古代中國文明發展的卓越成就。
持續追尋
其實，當時及在祖沖之往後的一千年，西方及印度的數學家仍繼續鍥而不捨的追尋圓周率更準確的值。
例如，印度的數學大師阿耶波多（Aryabhata，476 – 550 年） 在 530 年求出：
p = 62832/20000 = 3.1416
（他亦可能是因為接觸到希臘和羅馬的科學才能計算出來的。）
而歐洲也有斐波那契（Leonardo of Pisa, Fibonacci，1180 – 1240 年） 獨立地（沒有參考阿基米德的多邊形方法）計算出圓周率的近似值為 864/275 ，即：
p = 3.141818…
不過，在中世紀，歐洲對圓周率的研究沒有甚麼大的進展，圓周率的精確度亦不及古希臘、中國和印度的計算。而在這段時期，圓周率值的尋找也只局限於以多邊形迫近圓的方法。
對圓周率的窮追猛打
傾畢生於計算圓周率的人：
荷蘭數學家魯道爾夫萬科倫（Ludolph Van Ceulen，1540 – 1610 年）在三十歲開始計算圓周率的值，在 1596 年，他採用阿基米德的方法，以無比的毅力和耐力計算到正 60 ´ 233 邊形，得出準確至二十個小數位的 p 值；直至他臨終的一年（1610 年），他不厭其煩的計算繁複的乘法、除法和平方根，最後計算到正 262 邊形，得出了三十五個小數位的 p 值，可算是破了人類筆算的極限。故在德國、荷蘭的一些數學教科書，圓周率又被稱為「魯道爾夫數」。
運用多邊形計算圓周率的最後一位數學家：
在 1621 年，荷蘭數學家的斯涅爾（Wildebrod Snell， 1580? – 1626 年）發現了一套更有效的方法，他不須倍增多邊形的邊數，就可求出更準確的數值：他將多邊形的每一份分成三份，及將其每一條邊再作兩條邊，使之能更準確地包含圓的弧；再根據不等式，得出：
3.14022 < p < 3.14160
及後，在 1630 年，惠更斯採用斯涅爾的方法，得出 39 個小數位的 p 值；他是以多邊形計算圓周率的方法（有長達二千年歷史）的最後一位數學家。
「轉」是尋求圓周率的一個轉捩點。圓周率的計算有了新的突破－以解析表達式表示及求出圓周率的值。
韋達的突破
法國數學家韋達（Francois Viète， 1540 – 1603 年）在一五七九年仿傚阿基米德的多邊形方法及運用三角學數式，計算出兩個 3 ´ 217（即 393216）邊形的周長，並求到 3.1415926535 < p < 3.1415926537， p 的值準確至小數點後 9 個位。但他的更大成就，亦是圓周率計算的新突破，則是他是第一個人以無窮乘積（Infinite Products）來表示圓周率。
在一五九三年，韋達的著作《數學問題面面觀》記載：
這個積的特別之處在於它收歛到 p 的速度很快：在計算到第 25 項後，就得出準確至小數點後 15 位的圓周率數值。韋達的計算方法如下：
先是將多邊形切割成三角形，他發現當內接正多邊形的邊數不斷倍增時，內接 N 正邊形的周長，和內接 2N 邊形的周長的比率，等於 cos q；接著，韋達便反覆運用了三角學的半角公式：，得出，當 n 的值漸大的時候，就會收歛至 x；他再用另一條公式，代，他就得出：
繼韋達之後，出現另一位以無窮乘積表示 p 的數學家－華理斯（John Wallis， 1616 – 1703 年）。在 1655 年，他以
來表示 p (當然，現在這表達式的正確寫法應是：)。
而布朗克（William Viscount Brouncker，1620 – 1684 年）在 1658 年更將這個無窮乘積轉化為 p 的第一個連續分數 (Continued Fraction)：
第一個表示圓周率的反正切級數
在 1671 年 2 月 15 日，英國數學家格里哥利（James Gregory，1638 – 1675 年）發現第一個反正切級數 (First arctangent series) ：
當然，用這個級數計算 p 準確值的速度很慢（要算到第 5000 項才得準確至小數後 5 個位的 p 值）。不過，格里哥利卻開啟了往後以無窮級數求 p 的先例，對圚周率的計算有重大影響。
（這個展開式提供了計算圓周率的一個僅用分數加減便能得 p 值的算式，就是當代 x = 1 時，就得出：，不過，格里哥利自己並沒有這樣做。）
在 1674 年，德國出生的萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646 – 1716 年）也獨自研究出第一個用以計算圓周率的反正切級數「萊布尼茲級數」：
夏普的突破
第一個利用格里哥利的級數來計算出圓周率的值的人是英國的夏普（Abraham Sharp，1651 – 1742 年）。在 1699 年，他透過代，發現：
這級數能以每兩項產生一個小數位的速度計算 p 值，得出 72 個小數位的圓周率。這是第一個不是根據阿基米德多邊形方法求得圓周率值的紀錄。
「p」符號的出現
「p」是希臘的第十六個字母。第一個使用「p」的數學家是奧特雷德（William Oughtred，1574 – 1660 年），他以「」表示圓周率，原因是「p」和「d」分是希臘文圓周和直徑的第一個字母。 直至 1706 年，英國的鐘斯（William Jones，1675 – 1749 年）才首次以「p」表示圓周率。後來，偉大的數學家歐拉（Euler，1707 – 1783 年）把以「p」表示圓周率的符號引入他在 1748 年發表的《無窮分析導論》（Introduction to the Analysis of the Infinite），使「p」用以表示圓周率的概念得以推廣及風行。
p 值突破 100 個小數位
在 1706 年，英國的梅琴（John Machin， 1680-1752 年）首次在一個表達式中，利用兩個反正切級數計算圓周率的值： 求得有 100 個小數位的 p 值。
歐拉的貢獻
瑞士的歐拉（Euler， 1707 – 1783 年）對圓周率的研究有很重要的貢獻，他發現了很多計算圓周率的反正切方程和有關 p 和 p2 的級數（記載在他發表的《無窮分析導論》）。在 1755 年，他發現一個收歛得很快的反正切級數：
這只需一小時，就可計算出有 20 個小數位的圓周率。
另外，歐拉用以證明自然對數的底 e 是無理數的想法：把 e 化成連續分數，啟發了德國數學家朗伯特（Johann Heinrich Lambert，1728 – 1777 年）在 1761 年，把正切函數化成連續分數： ，證明 p 是無理數。
而在 1775 年，歐拉研究出「歐拉公式」：也被後來的德國數學家林德曼（Ferdinand Lindemann， 1852 – 1939 年）在 1882 年用以證明 p 是超越數。
最後用「手」算圓周率值的紀錄
尚克斯（William Shanks，1812 – 1882 年）用手以紙筆計算 p 值，他一生發表了不少於四個的圓周率值；最後在 1873 年，他發表了 707 個小數位的圓周率值；不過，這被後來證明由第 527 個位開始是錯的。
而最後一位被紀錄以紙筆算 p 值的數學家應是弗格森（Ferguson），他花了一生的時間，以手動的桌上型計算機幫助，最終在 1947 年，得出準確至小數後 808 位的圓周率值。
「接」是緊接著以上發現的很多計算圓周率值的公式所延伸的一個時期：隨著科技的突飛猛進，電腦的發明，令圓周率的計算速度有了新的突破。
第一次電腦的突破
在 1949 年，里特韋斯納（George Reitwiesner）、馮紐曼 （John von Neumann）和梅卓普利斯（N. C. Metropolis）利用在 1948 年美國製造的 ENIAC （電子數字求積器和計算機，Electronic Numerical Integrator and Computer），運用梅琴的反正切級數計算圓周率的值，花了 70 小時，計算出 2037 個小數位的 p 值。
p 值的位數急升！！！
法國的弗朗索瓦裘紐斯（Francois Genuys），用了巴黎的 IBM 704 電腦，在 40 秒內計算到 707 個小數位的 p 值；後在 1958 年，更利用梅琴的級數，在 100 分鐘內計算到 10000 個小數位的 p 值，令 p 值第一次達到一萬大關。在 1961 年 7 月 29 日，丹尼爾尚克斯利用 IBM 7090 電腦計算到 100265 個小數位的 p 值，突破十萬大關。在 1973 年，紀堯德和布依爾利用巴黎的 CDC 7600 電腦，在約廿三小時內，求得超過一百萬個小數位的 p 值……
及後至今，數學家們仍努力尋找能更有效計算圓周率值的方法和公式，朝著找出更多小數位、更準確的 p 值，及找到圓周率小數點後數字的規律出發。
人們追尋圓周率 p 的歷史至今已有四千年，由發現圓周和直徑的比為一常數，進而以多邊形迫近圓的方法求 p 值，轉而發現更多計算及表示 p 的公式、級數……再隨著電腦的發明與科技的發展，圓周率值的位數得以突飛猛進。
其實，十個小數位的 p 值已足已應付日常及工程所需的計算。現在， p 值多位計算的實際用途只是作測量新型電腦的優良程度，但為何人們仍對 p 值鍥而不捨的追尋？相信是因為數學家們對有無限小數位的 p 都抱有好奇心，希望解開幾千年來仍未有人解到的圓周率之謎：「究竟人們可計算到幾多個小數位的 p 值？」、「常數 p 的數字究竟有沒有甚麼規律可尋？」．．．為了創出新的紀錄和挑戰自己及人類的極限，人們仍願意付上時間和精神，去繼續追尋「無限、奇妙的 p」，感受並欣賞數學的美。
http://www.geocities.com/walter_hung/misc/pi.htm :
p =3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 …
無限個位的 p？！
主要參考：
Jorg Arndt, Christoph Haenel (1998,2000). p-Unleashed, p.165-208: “The History of p”, p.223-238: ” p Formula Collection”. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.
大衛布拉特納著（David Blatner），潘恩典譯（1999）。神奇的 p（原著：The Joy of p )。台北：商業周刊出版社股份有限公司 (原出版社：Walker and Company）。
列志佳、黃家鳴、簡珮華主編（2000）。數學的故事，頁 25-36：「p 的故事」（黃晶榕）。台北：九章出版社。
袁小明編著（2000）。數學誕生的故事，頁 95-103：「圓周率的身世」，頁 104 – 108：「再談 p」。台北：九章出版社。
次要參考：
Li Yan & Du Shiran (Translated by John N. Crossley & Anthony W. C. Lun) (1987). Chinese Mathematics A concise history, p.65-68: “The contribution of Liu Hui”, p.80-84: “The outstanding mathematician Zu Chongzhi in the period of the North and South Dynasties”. Oxford University Press.
九章出版社編輯部編（1981）。數學家傳奇，頁 50-74：「科學上常用的常數 – 圓周率」。台北：九章出版社。
Petr Beckmann (1982). A history of p (Pi) (Fifth Edition), p.198-199: “Chronological Table”. USA: The Golem Press.
http://www.geocities.com/walter_hung/misc/pi.htm
http://www.math.tku.edu.tw/mathhall/mathinfo/lwymath/piTOP.htm
http://www.nmns.edu.tw/New/Multimedia/china/A-2-2_display.htm