對數與對數表

引言

很多數學教科書的附錄部份都會印著對數表，用來輔助計算對數。但你們又是否知道，「對數」的概念是在製造了「對數表」後才出現的呢？

背景

十五世紀的歐洲，興起了一股文藝復興的熱潮，亦同時帶動了遠航業的發展。發展遠航事業，少不免要計算大量位值的數。大量位值的加減已令人頭痛不已，更何況大量位值的乘除。這令人產生一個疑問，是否有方法能精確且快捷地計算大量位值的數呢？

以加減代替乘除

人們很自然地想，如果能把乘除法轉變為加減法，豈不是省事很多？

從十六世紀起，出現了兩種把乘除轉化為加減的公式︰

但這兩種公式卻不理想︰前者要運用到三角形中的正弦和餘弦；後者要運用到數的平方，這事實上是一種乘法。

新的發現

1484 年，法國巴黎大學醫學學士舒開 (Chuquet) 發現了一個有趣的數學性質：

2 + 4 = 6

第一排是以 1 為公差 (common difference) 的等差數列 (arithmetic sequence)；第二排是以 2 為公比 (common ratio) 的等比數列 (geometric sequence)。

他發現，等比數列裏任意兩項的積仍在這個數列中，而且它可通過與這兩項對應的等差數列中兩項的和來指出。

例如，等比數列中的兩項 4 與 16，它們的積仍在這個數列中，而且可以由對應於 4 和 16 的等差數列中的兩項 2 與 4 的和，即 6 來指出。因為 6 下面的就是 4 ´ 16 = 64。

舒開的發現很有啟發意義，它告訴人們，通過將等差數列與等比數列相對應對列表的辦法，可以把數的乘法運算轉為加法運算。

對數表的雛形

半世紀以後，德國數學家史提非 (Stifel) 進一步把負數及分數分別加入等差數列及等比數列中，並進一步指出，等比數列中的數之間的除法、乘法可分別轉化為等差數列中相應數之間的減法、加法。

例如，求 ，32 對應的等差數列的數是 5， 對應的數是 -1，5 – (-1) = 6，6 下面的 64 就是所求的商。

5 – (-1) = 6

對數表的發明

第一個給對數作定義及第一個公佈正弦對數表，是蘇格蘭的數學家納皮爾 (Napier)。他借用物理學運動來定義對數。

他假設有兩個質點分別沿著線段 AZ 和射線 A’Z’ 以同樣的速度運動，其中沿 A’Z’ 運動的質點 P 保持原速度，而沿 AZ 運動的質點 Q 的速度與它尚須經過的距離成正比，換句話說，質點 Q 的速度是越來越慢的。

如果當 P 位於 B’ 時，Q 位於 B；當 P 位於 C’、D’、E’、… 時，Q 位於 C、D、E、…，那麼 A’B’ 的距離就是 BZ 的距離的對數，同樣 A’C’、A’D’ 和 A’E’的距離，就分別是 CZ、DZ 和 EZ 距離的對數。

Q:
P:

因此，納皮爾定義的對數，就是將等差數列中的各數，定義為等比數列中相應數的對數。所不同的是納皮爾借助運動或者說是幾何而定義的對數是連續的，而直接從數列來定義的對數卻是離散的。當然，在實際製作對數表時，納皮爾也不能不一個一個地給出兩個數列中的數。

納皮爾為製造他那張精確到七位有效數字的對數表，前後花了近二十年的功夫。

精確的對數表

納皮爾的對數一發表後，就得到英國數家享利．布列格斯 (Henry Briggs) 的充分肯定和積極響應。他亦建議納皮爾選用 10 來作為對數的底，因為這有利於對十進位的數取對數。

納皮爾很贊成布列格斯的意見，然而他已有點力不從心了。製造對數表的任務後來便落在布列格斯及荷蘭青年佛拉哥 (Adriaan Vlacq) 身上。他們終於完成了從 1 到 100000，精確到 14 位的常用對數表。