從解手繩到DNA

一、 扭結理論的歷史

相信很多同學在迎新營或其他團體活動都玩過「解手繩」的遊戲。遊戲的玩法很簡單，首先一班人圍一個圈，面向圓心，然後伸出雙手，每隻手分別任意抓著其他人的一隻手，在確保沒有圍出多於一個圈的情況下進行「解繩」，過程中要求大家不鬆手，把「繩圈」變成一個沒有打結的大圓圈。然而，是否每種繞法最終都能變成一個「大繩圈」？會否出現「死結」的情況？

在數學上這是一個關於扭結理論(knot theory)的問題。留意的是這兒的扭結(knot)都是閉合(closed)，並且只得一個繩圈的。牽涉到多於一個繩圈的我們稱之為鏈(link)。數學家們已經花了一個世紀的時間去尋找一個系統的方法，從纏繞得很複雜的結中找出活結。這是扭結理論的一個中心問題。扭結理論家也有興趣於把所有結分類，以決定兩個表面上看起來不一樣的結是否相等。為証明兩個結是相等的，一個很直接的方法就是試著去旋轉或拉扯，使得兩個結長得一樣。但即使經過長時間的努力仍無法達成的時候，并不表示兩結一定不相等，可能是它們需要很特別的方法才能達到。

II. History of Knot Theory

早在1794年，高斯(Gauss)在其電磁學理論中有關磁力線穿透兩個環狀導線中的電感(inductance) 的研究中，已經用到一些與扭結有關的理論，這可說是現今之扭結理論概念中的第一步。不過當時的研究並沒有引起多大的注意。

直到十九世紀的時候，有人認為原子可能是由一些類似繩圈的東西組成，因此研究及分類繩圈的工作又開始起來。

氦 (Helium)？	鉛 (Lead)？	鎳 (Nickel)？

相信各位都會認為以下四個扭結是相同的，我們稱這扭結為平凡紐結(trivial knot)。

平凡扭結

另外兩個較為簡單的扭結是三葉形扭結(trefoil knot) 及八字扭結(figure-8 knot)：

(右)三葉形扭結	八字扭結

III. Reidemeister moves

1932年，Reidemeister發現兩個模樣不同而實質相同的扭結或鏈皆可通過連串而有限的以下三種方法(Reidemeister moves) 互相變換而成。

TYPE 1 Reidemeister moves

TYPE 2 Reidemeister moves

TYPE 3 Reidemeister moves

讓我們看看兩個實例：

1. 兩個繩圈的鏈：

2. 三葉形扭結

讀者可能會覺得其實兩個例子中第一步與最後一步中的結很明顯是相同的，何必要用Reidemeister moves呢？其實，Reidemeister這個定理的最大用途並不是用於証明兩個結相等，相反，是用來証明兩個結的不同。在數學中，我們經常研究究竟哪些性質在通過某類型變換中是會保留的。我們稱這些性質為不變量(Invariant)。

IV. 扭結中的不變量

如果我問，以下兩個結是否相同，相信大家都會立刻說不同。為甚麼？

「因為左邊的只有一個繩圈，右面的有兩個繩圈。」

繩圈的數目就是一個扭結的不變量。由於通過拉長，重疊，反轉等變換，直覺告訴我們繩圈的數目是不會增加或減少的。但數學上如何嚴謹地說服別人，在所有的變換中繩圈的數目是不變量呢？這就用了Reidemeister的定理。通過觀察，繩圈的數目在三種Reidemeister moves 中均是保持的。因此，任何兩個模樣不同但實際相同的結的繩圈數目是相同的，所以繩圈數目是不變量。

如果我再問，以下兩個結是否相同？「大概不是……」

為甚麼？「……」

這次，兩個結均只有一個繩圈，所以不能利用繩圈數目來判斷兩個結不同。這兒我們利用另一種不變量──「三色性(tricolorability)」。

繩結中每一個的重疊位置都可看成由三條「繩段」所組成。

我們稱一個結的某一種模樣符合三色性的話，即是說我們可以將該結的每一條繩段均塗上A、B、C三種顏色中的其中一種，使得用盡了三種顏色，且每一個重疊位的三條繩段或是只用了一種顏色，或是用齊三種顏色。就如下圖所示，三葉形扭結及有三個繩圈的平凡鏈均有三色性的性質。

讀者可以驗証，三色性在Reidemeister moves中是保持的。因此，三色性是扭結的一個不變量。

由於我們只能在平凡扭結上塗上一種顏色，因此平凡扭結不符合三色性。因此，三葉形扭結及平凡扭結是不同的。

在扭結的研究中還有很多不變量，如crossing number、bridge number、unknotting number及linking number 等。有與趣的讀者可參考連結中的網站或參考書。在下一章，我們會提到一個非常有用的繩結不變量──鍾斯多項式。

V. 鍾斯多項式

在1984年，鍾斯(Vaughan F.R.Jones) 意外地發現馮紐曼代數(數學上的技巧，應用於量子力學中)和扭結理論的關聯。他推出一個新的多項式不變量，稱為鍾斯多項式(Jones Polynomial)，大大激發扭結理論的發展。他亦因此在1990的國際數學家會議中得到菲爾茲獎(fields medal)。

在講這多項式之前，先要說說甚麼是有向的扭結或鏈(oriented knot / link)。這其實只不過是在一個扭結或鏈中的每一個繩圈均加入一個方向，以平凡扭結為例，我們可加入順時針或逆時針兩種方向，不過在這個例子中，兩個有向的扭結其實是相同的。

鍾斯根據某種方法，對於每個有向的扭結及鏈均給出一條形式如的「多項式」。這裡的多項式是容許指數是任何的倍數，包括負數。鍾斯多項式是一個有向扭結及鏈的不變項，因此我們能用此來幫助分辨不同的結。

我們並不會介紹如何找出一個結的鍾斯多項式，只會真接給出多項式。

平凡扭結的鍾斯多項式為1

1

兩個平凡鏈的鍾斯多項式為.

以下的兩個有向的鏈並不相同，因為它們有不同的鍾斯多項式。

最後，我們看看三葉形扭結。這類扭結基本上有以下兩種模樣，它們是否相同呢？假設我們分別稱這兩個結為A 及 B。

A	B

我們考慮這兩個扭結所形成的四個有向扭結，並給出它們的鍾斯多項式。

細心的讀者應該留意到，只要向後一反，立刻可以看出左邊的兩個有向扭結其實是相同的。同樣地右邊的兩個亦是相等。

這即是說，A所形成的所有有向扭結的鍾斯多項式均為 ，B所形成的所有有向扭結的鍾斯多項式均為 。因此，我們得到的結論是，A和B本身已不相同。我們稱A為左三葉形扭結，B為右三葉形扭結。

VI. 扭結理論的未來

扭結理論在物理上有重大的應用。它可以幫助物理學家去決定兩個表面上不一樣的場理論是否真的不一樣。物理上的弦理論(string theory)企圖把相對論(relativity)和量子力學(quantum mechanics)統一起來，整個世界都是由很細小的弦所組成的。不一樣的粒子，不論是電子、夸克或中子，就對應於不一樣的振動的弦。物理上的弦就像數學上位於三度空間的結。

結在生物學上用途也非常大，特別是在研究DNA的時候。ＤＮＡ（脫氧核糖核酸）是分子生物學的重要研究對象，是遺傳資訊的攜帶者，其特別的立體結構–雙螺旋結構，呈扭曲、絞擰、打結和圈套等形狀，這正好是數學中的扭結理論研究的對象。

VII. 連結

[1] 數學音樂與圖形 http://informath.nctu.edu.tw/art/knot/knot.htm.

[2] 漫淡物理 http://psroc.phys.ntu.edu.tw/bimonth/v24/338.doc.

[3] 科學領域的結 http://www.hegangjh.mlc.edu.tw/~phy1/new_page_3.htm.

[4] Knot theory online, http://www.freelearning.com/knots/index.htm.

[5] 剪不斷、理還亂(中大數學新浪潮講座題目) http://www.math.cuhk.edu.hk/publect/lecture4/.

[6] Knots on the web, http://www.earlham.edu/~peters/knotlink.htm.

[7] A knot theory primer, http://www.inst.bnl.gov/~wei/mypage.html.

VIII. 參考書籍

[1] C.C. Adams, The Knot Boo

[2] Charles Livingston, Knot Theory

[3] 薑伯駒, 《繩圈的數學》